<p><b>weiwang</b> 2012-01-10 15:15:09 -0700 (Tue, 10 Jan 2012)</p><p>eqn correction from WCS<br>
</p><hr noshade><pre><font color="gray">Modified: trunk/wrf/technote/discretization.tex
===================================================================
--- trunk/wrf/technote/discretization.tex        2012-01-09 22:51:06 UTC (rev 326)
+++ trunk/wrf/technote/discretization.tex        2012-01-10 22:15:09 UTC (rev 327)
@@ -134,19 +134,25 @@
 %
 \begin{align}
   </font>
<font color="red">ull\hskip-.5in
- \delta_\tau U'' + \mu^{t^*}\alpha^{t^*} \partial_x {p''}^\tau 
-                 + (\mu^{t^*} \partial_x \bar p){\alpha''}^\tau  
-                 + (\alpha/\alpha_d) [\mu^{t^*} \partial_x {\phi''}^\tau 
-                 + (\partial_x \phi^{t^*})(\partial_\eta p''-\mu'')^\tau]
-                                                   &amp;= {R_U}^{t^*}  
+\partial_t U'' + (m_x/m_y)(\alpha^{t^*}/\alpha^{t^*}_d) \left[\mu_d^{t^*} \left(
+\alpha_d^{t^*} \partial_x {p''}^\tau +  {\alpha_d''}^\tau \partial_x {\overline p}  + \partial_x {\phi''}^\tau \right)
++ \partial_x \phi^{t^*} \left(\partial_\eta {p''} - {\mu''_d} \right)^\tau \right] &amp; = R_U^{t^*}
+%% \delta_\tau U'' + \mu^{t^*}\alpha^{t^*} \partial_x {p''}^\tau 
+%%                 + (\mu^{t^*} \partial_x \bar p){\alpha''}^\tau  
+%%                 + (\alpha/\alpha_d) [\mu^{t^*} \partial_x {\phi''}^\tau 
+%%                 + (\partial_x \phi^{t^*})(\partial_\eta p''-\mu'')^\tau]
+%%                                                   &amp;= {R_U}^{t^*}  
 \label{u-small-step} 
 \\
   </font>
<font color="gray">ull\hskip-.5in
- \delta_\tau V'' + \mu^{t^*}\alpha^{t^*} \partial_y {p''}^\tau 
-                 + (\mu^{t^*} \partial_y \bar p){\alpha''}^\tau  
-                 + (\alpha/\alpha_d) [\mu^{t^*} \partial_y {\phi''}^\tau 
-                 + (\partial_y \phi^{t^*})(\partial_\eta p''-\mu'')^\tau]
-                                                   &amp;= {R_V}^{t^*}   
+\partial_t V'' + (m_y/m_x)(\alpha^{t^*}/\alpha^{t^*}_d) \left[\mu_d^{t^*} \left(
+\alpha_d^{t^*} \partial_y {p''}^\tau +  {\alpha_d''}^\tau \partial_y {\overline p}  + \partial_y {\phi''}^\tau \right)
++ \partial_y \phi^{t^*} \left(\partial_\eta {p''} - {\mu''_d} \right)^\tau \right] &amp; = R_V^{t^*}
+%% \delta_\tau V'' + \mu^{t^*}\alpha^{t^*} \partial_y {p''}^\tau 
+%%                 + (\mu^{t^*} \partial_y \bar p){\alpha''}^\tau  
+%%                 + (\alpha/\alpha_d) [\mu^{t^*} \partial_y {\phi''}^\tau 
+%%                 + (\partial_y \phi^{t^*})(\partial_\eta p''-\mu'')^\tau]
+%%                                                   &amp;= {R_V}^{t^*}   
 \label{v-small-step}
 \\
  \delta_\tau \mu_d'' 
@@ -173,7 +179,7 @@
 \\
  \delta_\tau \phi'' + {1\over\mu_d^{t^*}} 
 %% [ m_y \Omega''^{\tau+\Delta \tau}\phi_\eta^{t^*}  - m_y \overline{g W''}^\tau ] 
-[ m_y \Omega''^{\tau+\Delta \tau}\partial_\eta\phi^{t^*}  - m_y \overline{g W''}^\tau ] 
+[ m_y \Omega''^{\tau+\Delta \tau}\delta_\eta \phi^{t^*}  - m_y \overline{g W''}^\tau ] 
 &amp;= {R_\phi}^{t^*}.
 \label{geo-small-step}
 \end{align}
@@ -185,25 +191,31 @@
 and are given by
 %
 \begin{align}
-R_U^{t^*} = &amp;
-- m_x[\partial_x(Uu) + \partial_y(Vu)] - \hphantom{(m_y/m_x)} \partial_\eta (\Omega u)
-- ({\mu}_d \alpha \partial_x p' 
-- {\mu}_d \alpha' \partial_x \bar{p}) ~~~~~~~~ </font>
<font color="red">otag
-\\
-&amp; - (\alpha/\alpha_d) ( {\mu}_d \partial_x \phi' 
-  -  \partial_\eta p' \partial_x \phi 
-  + {\mu}_d' \partial_x \phi ) + F_U
+R_U^{t^*} = &amp; - m_x\left[\partial_x (Uu) + \partial_y (Vu)\right] - \partial_\eta (\Omega u)  &amp; \cr
+&amp; -(m_x/m_y) (\alpha/\alpha_d) \left[ \mu_d (\partial_x \phi' + \alpha_d \partial_x p' + \alpha'_d \partial_x \overline{p}) +
+\partial_x \phi (\partial_\eta p' - \mu'_d)\right]
+%%R_U^{t^*} = &amp;
+%%- m_x[\partial_x(Uu) + \partial_y(Vu)] - \hphantom{(m_y/m_x)} \partial_\eta (\Omega u)
+%%- ({\mu}_d \alpha \partial_x p' 
+%%- {\mu}_d \alpha' \partial_x \bar{p}) ~~~~~~~~ </font>
<font color="red">otag
+%%\\
+%%&amp; - (\alpha/\alpha_d) ( {\mu}_d \partial_x \phi' 
+%%  -  \partial_\eta p' \partial_x \phi 
+%%  + {\mu}_d' \partial_x \phi ) + F_U
 \label{u-rhs}
 \\
 %
-R_V^{t^*} = &amp;
-- m_y[\partial_x (Uv) + \partial_y (Vv)] - (m_y/m_x) \partial_\eta (\Omega v)
-- ({\mu}_d \alpha \partial_y p' 
-- {\mu}_d \alpha' \partial_y \bar{p}) ~~~~~~~~ </font>
<font color="red">otag
-\\
-&amp; - (\alpha/\alpha_d) ( {\mu}_d \partial_y \phi' 
-  - \partial_\eta p' \partial_y \phi 
-  + {\mu}_d' \partial_y \phi ) + F_V
+R_V^{t^*} = &amp; - m_y\left[\partial_x (Uv) + \partial_y (Vv)\right] - (m_y/m_x) \partial_\eta (\Omega v)  &amp; \cr
+&amp; -(m_y/m_x) (\alpha/\alpha_d) \left[ \mu_d (\partial_y \phi' + \alpha_d \partial_y p' + \alpha'_d \partial_y \overline{p}) +
+\partial_y \phi (\partial_\eta p' - \mu'_d)\right]
+%%R_V^{t^*} = &amp;
+%%- m_y[\partial_x (Uv) + \partial_y (Vv)] - (m_y/m_x) \partial_\eta (\Omega v)
+%%- ({\mu}_d \alpha \partial_y p' 
+%%- {\mu}_d \alpha' \partial_y \bar{p}) ~~~~~~~~ </font>
<font color="gray">otag
+%%\\
+%%&amp; - (\alpha/\alpha_d) ( {\mu}_d \partial_y \phi' 
+%%  - \partial_\eta p' \partial_y \phi 
+%%  + {\mu}_d' \partial_y \phi ) + F_V
 \label{v-rhs}
 \\ 
 %
@@ -578,29 +590,41 @@
 \eqref{u-small-step} -- \eqref{geo-small-step} as
 %
 \begin{align}
-\delta_{\tau} U''  +  \overline{\mu^{t^*}}^x
-   \overline{\alpha^{t^*}}^x \delta_x {p''}^\tau 
- + (\overline{\mu^{t^*}}^x \delta_x \bar p)\overline{{\alpha''}^\tau}^x
-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
-</font>
<font color="red">otag \\
-  + \overline{(\alpha/\alpha_d)}^x 
-    [\overline{\mu^{t^*}}^x \delta_x \overline{{\phi''}^\tau}^\eta
- + (\delta_x \overline{\phi^{t^*}}^\eta)
- (\delta_\eta \overline{\overline{p''}^x}^\eta 
-    -\overline{\mu''}^x)^\tau] &amp;= R_U^{t^*} 
+\partial_t U'' + (m_x/m_y)\overline{(\alpha^{t^*}/\alpha^{t^*}_d)}^x \bigg[\overline{\mu_d^{t^*}}^x\bigg(
+\overline{\alpha_d^{t^*}}^x  \partial_x {p''}^\tau  + \overline{{\alpha_d''}^\tau}^x  \partial_x {\overline p}
++ \partial_x \overline{{\phi''}^\tau}^\eta \bigg)
+</font>
<font color="blue">otag &amp;
+\\
++ \partial_x \overline{\phi^{t^*}}^\eta \bigg(\partial_\eta \overline{\overline{{p''}}^x}^\eta - \overline{{\mu''_d}}^x \bigg)^\tau \,\bigg]  &amp; = R_U^{t^*}
+%%\delta_{\tau} U''  +  \overline{\mu^{t^*}}^x
+%%   \overline{\alpha^{t^*}}^x \delta_x {p''}^\tau 
+%% + (\overline{\mu^{t^*}}^x \delta_x \bar p)\overline{{\alpha''}^\tau}^x
+%%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+%%</font>
<font color="red">otag \\
+%%  + \overline{(\alpha/\alpha_d)}^x 
+%%    [\overline{\mu^{t^*}}^x \delta_x \overline{{\phi''}^\tau}^\eta
+%% + (\delta_x \overline{\phi^{t^*}}^\eta)
+%% (\delta_\eta \overline{\overline{p''}^x}^\eta 
+%%    -\overline{\mu''}^x)^\tau] &amp;= R_U^{t^*} 
 \label{u-discrete}
 \\
 %
-\delta_{\tau} V''  +  \overline{\mu^{t^*}}^y
-   \overline{\alpha^{t^*}}^y \delta_y {p''}^\tau 
- + (\overline{\mu^{t^*}}^y \delta_y \bar p)\overline{{\alpha''}^\tau}^y
-~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
-</font>
<font color="red">otag \\
- + \overline{(\alpha/\alpha_d)}^y 
-    [\overline{\mu^{t^*}}^y \delta_y \overline{{\phi''}^\tau}^\eta
- + (\delta_y \overline{\phi^{t^*}}^\eta)
- (\delta_\eta \overline{\overline{p''}^y}^\eta 
-    -\overline{\mu''}^y)^\tau] &amp;= R_V^{t^*}
+\partial_t V'' + (m_y/m_x)\overline{(\alpha^{t^*}/\alpha^{t^*}_d)}^y \bigg[\overline{\mu_d^{t^*}}^y\bigg(
+\overline{\alpha_d^{t^*}}^y  \partial_y  {p''}^\tau  + \overline{{\alpha_d''}^\tau}^y  \partial_y {\overline p}
++ \partial_y \overline{{\phi''}^\tau}^\eta \bigg) 
+ </font>
<font color="blue">otag &amp;
+\\
++ \partial_y \overline{\phi^{t^*}}^\eta \bigg(\partial_\eta \overline{\overline{{p''}}^y}^\eta - \overline{{\mu''_d}}^y \bigg)^\tau \, \bigg]  &amp; = R_V^{t^*}
+%%\delta_{\tau} V''  +  \overline{\mu^{t^*}}^y
+%%   \overline{\alpha^{t^*}}^y \delta_y {p''}^\tau 
+%% + (\overline{\mu^{t^*}}^y \delta_y \bar p)\overline{{\alpha''}^\tau}^y
+%%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
+%%</font>
<font color="gray">otag \\
+%% + \overline{(\alpha/\alpha_d)}^y 
+%%    [\overline{\mu^{t^*}}^y \delta_y \overline{{\phi''}^\tau}^\eta
+%% + (\delta_y \overline{\phi^{t^*}}^\eta)
+%% (\delta_\eta \overline{\overline{p''}^y}^\eta 
+%%    -\overline{\mu''}^y)^\tau] &amp;= R_V^{t^*}
 \label{v-discrete}
 \\
  \delta_\tau \mu_d'' 
@@ -627,7 +651,7 @@
 \label{w-discrete}
 \\
  \delta_\tau \phi'' + {1\over\mu_d^{t^*}}
-[m_y \Omega''^{\tau+\Delta \tau} \delta_\eta \phi^{t^*}  - m_y \overline{g W''}^\tau ] 
+[m_y \Omega''^{\tau+\Delta \tau} \delta_\eta \overline{\phi^{t^*}}^\eta  - m_y\overline{g W''}^\tau ] 
 &amp;= {R_\phi}^{t^*},
 \label{geo-discrete}
 \end{align}
@@ -666,31 +690,40 @@
 are discretized as
 %
 \begin{align}
-R_U^{t^*} = &amp;- ( \overline{{\mu}_d}^x \overline{\alpha}^x \delta_x p' 
-   -\overline{{\mu}_d}^x \overline{\alpha'}^x \delta_x \bar{p}) 
--\overline{(\alpha / \alpha_d)}^x
-( \overline{{\mu}_d}^x \delta_x \overline{\phi'}^\eta
-  -  \delta_\eta \overline{\overline{p'}^x}^\eta \delta_x \overline{\phi}^\eta
-  + \overline{{\mu}_d'}^x \delta_x \overline{\phi}^\eta ) </font>
<font color="red">otag  \\
-&amp; ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + F_{U_{cor}} + \hbox{advection} +
-\hbox{mixing} + \hbox{physics},
+R_U^{t^*} =
+ -(m_x/m_y) \overline{(\alpha/\alpha_d)}^x &amp; \left[ \overline{\mu_d}^x (\partial_x \overline{\phi'}^\eta
++ \overline{\alpha_d}^x \partial_x p' + \overline{\alpha'_d}^x \partial_x \overline{p}) +
+\partial_x \overline{\phi}^\eta (\partial_\eta \overline{\overline{p'}^x}^\eta - \overline{\mu'_d}^x)\right] &amp; \cr
+&amp; + F_{U_{cor}} + \hbox{advection} + \hbox{mixing} + \hbox{physics,}
+%%R_U^{t^*} = &amp;- ( \overline{{\mu}_d}^x \overline{\alpha}^x \delta_x p' 
+%%   -\overline{{\mu}_d}^x \overline{\alpha'}^x \delta_x \bar{p}) 
+%%-\overline{(\alpha / \alpha_d)}^x
+%%( \overline{{\mu}_d}^x \delta_x \overline{\phi'}^\eta
+%%  -  \delta_\eta \overline{\overline{p'}^x}^\eta \delta_x \overline{\phi}^\eta
+%%  + \overline{{\mu}_d'}^x \delta_x \overline{\phi}^\eta ) </font>
<font color="red">otag  \\
+%%&amp; ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + F_{U_{cor}} + \hbox{advection} +
+%%\hbox{mixing} + \hbox{physics},
 \label{u-pg-discrete} \\
 %
-R_V^{t^*} = &amp;- ( \overline{{\mu}_d}^y \overline{\alpha}^y \delta_y p' 
-   -\overline{{\mu}_d}^y \overline{\alpha'}^y \delta_y \bar{p}) 
--\overline{(\alpha / \alpha_d)}^y
-( \overline{{\mu}_d}^y \delta_y \overline{\phi'}^\eta
-  -  \delta_\eta \overline{\overline{p'}^y}^\eta \delta_y \overline{\phi}^\eta
-  + \overline{{\mu}_d'}^y \delta_y \overline{\phi}^\eta ) </font>
<font color="red">otag  \\
-&amp; ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + F_{V_{cor}} + \hbox{advection} +
-\hbox{mixing} + \hbox{physics},
+R_V^{t^*} =
+ -(m_y/m_x) \overline{(\alpha/\alpha_d)}^y &amp; \left[ \overline{\mu_d}^y (\partial_y \overline{\phi'}^\eta
++ \overline{\alpha_d}^y \partial_y p' + \overline{\alpha'_d}^y \partial_y \overline{p}) +
+\partial_y \overline{\phi}^\eta (\partial_\eta \overline{\overline{p'}^y}^\eta - \overline{\mu'_d}^y)\right] &amp; \cr
+&amp; + F_{V_{cor}} + \hbox{advection} + \hbox{mixing} + \hbox{physics,}
+%%R_V^{t^*} = &amp;- ( \overline{{\mu}_d}^y \overline{\alpha}^y \delta_y p' 
+%%   -\overline{{\mu}_d}^y \overline{\alpha'}^y \delta_y \bar{p}) 
+%%-\overline{(\alpha / \alpha_d)}^y
+%%( \overline{{\mu}_d}^y \delta_y \overline{\phi'}^\eta
+%%  -  \delta_\eta \overline{\overline{p'}^y}^\eta \delta_y \overline{\phi}^\eta
+%%  + \overline{{\mu}_d'}^y \delta_y \overline{\phi}^\eta ) </font>
<font color="red">otag  \\
+%%&amp; ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + F_{V_{cor}} + \hbox{advection} +
+%%\hbox{mixing} + \hbox{physics},
 \label{v-pg-discrete} \\
 %
-R_W^{t^*} = &amp;  ~ m_y^{-1} g \overline{(\alpha/\alpha_d)}^\eta [\delta_\eta p' 
-  + {\bar{\mu}}_d \overline{q_m}^\eta]
-  - m_y^{-1} {\mu}_d'g </font>
<font color="gray">otag \\
-&amp; ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ + F_{W_{cor}} + \hbox{advection} +
-\hbox{mixing} + \hbox{buoyancy} + \hbox{physics}.
+R_W^{t^*} = ~ m_y^{-1} g \overline{(\alpha/\alpha_d)}^\eta [\delta_\eta p' 
++ &amp; {\bar{\mu}}_d \overline{q_m}^\eta]
+- m_y^{-1} {\mu}_d'g &amp; \cr
+&amp; + F_{W_{cor}} + \hbox{advection} + \hbox{mixing} + \hbox{buoyancy} + \hbox{physics}.
 \label{w-pg-discrete}
 \end{align}
 

Modified: trunk/wrf/technote/equation.tex
===================================================================
--- trunk/wrf/technote/equation.tex        2012-01-09 22:51:06 UTC (rev 326)
+++ trunk/wrf/technote/equation.tex        2012-01-10 22:15:09 UTC (rev 327)
@@ -74,8 +74,8 @@
 %+ \partial_\eta p \partial_x \phi &amp;= F_U 
 %% - \partial_x (p\phi_\eta)
 %% + \partial_\eta (p\phi_x) &amp;= F_U 
-- \partial_x      (p\partial_\eta \phi)
-+ \partial_\eta (p\partial_x     \phi) &amp;= F_U 
+- \partial_x      (p\phi_\eta)
++ \partial_\eta (p\phi_x) &amp;= F_U 
 \label{cartesian_begin}
 \\
 %
@@ -84,8 +84,8 @@
 %+ \partial_\eta p \partial_y \phi &amp;= F_V \\
 %% - \partial_y (p\phi_\eta)
 %% + \partial_\eta (p\phi_y) &amp;= F_V \\
-- \partial_y      (p\partial_\eta \phi)
-+ \partial_\eta (p\partial_y     \phi) &amp;= F_V \\
+- \partial_y      (p\phi_\eta)
++ \partial_\eta (p\phi_y) &amp;= F_V \\
 %
  \partial_t W + (</font>
<font color="gray">abla \cdot {\bf V} w )
 - g (\partial_\eta p - \mu) &amp;= F_W 
@@ -294,17 +294,19 @@
 can be written as
 %
 \begin{align}
-\partial_t U + m_x[\partial_x(Uu) + \partial_y(Vu)] + 
-\hphantom{(m_y/m_x)} 
+\partial_t U + m_x[\partial_x(Uu) + \partial_y(Vu)] \hphantom{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad}
+</font>
<font color="red">otag \\ 
++ \hphantom{(m_y/m_x)} 
 \partial_\eta (\Omega u)
-+ \mu_d \alpha \partial_x p 
-+ (\alpha/\alpha_d) \partial_\eta p \partial_x \phi &amp; = F_U
++ (m_x/m_y)[\mu_d \alpha \partial_x p
++ (\alpha/\alpha_d) \partial_\eta p \partial_x \phi] &amp; = F_U
 \label{u-mom-full}
 \\
 %
-\partial_t V + m_y[\partial_x (Uv) + \partial_y (Vv)] + (m_y/m_x)\partial_\eta (\Omega v)
-+ \mu_d \alpha \partial_y p
-+ (\alpha/\alpha_d) \partial_\eta p \partial_y \phi &amp; = F_V 
+\partial_t V + m_y[\partial_x (Uv) + \partial_y (Vv)] \hphantom{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad}
+</font>
<font color="gray">otag \\ + (m_y/m_x)\partial_\eta (\Omega v)
++ (m_y/m_x)[\mu_d \alpha \partial_y p
++ (\alpha/\alpha_d) \partial_\eta p \partial_y \phi] &amp; = F_V
 \label{v-mom-full}
 \\
 %
@@ -429,7 +431,7 @@
 the reference state is in hydrostatic balance and is strictly only a
 function of $\bar z$.  In this manner, $p=\bar p(\bar z)+p'$, $\phi=\bar
 \phi(\bar z)
-+\phi'$, $\alpha=\bar \alpha(\bar z) +\alpha'$, and $\mu_d = \bar\mu_d(x,y) +
++\phi'$, $\alpha=\bar \alpha_d(\bar z) +\alpha_d'$, and $\mu_d = \bar\mu_d(x,y) +
 \mu_d'$. Because the $\eta$ coordinate surfaces are generally not
 horizontal, the reference profiles $\bar p$, $\bar\phi$, and
 $\bar\alpha$ are functions of $(x,y,\eta)$. 
@@ -440,27 +442,33 @@
 \eqref{u-mom-full} -- \eqref{w-mom-full} are written as
 %
 \begin{align}
- \partial_t U  + m_x[\partial_x(Uu) + \partial_y(Vu)] +  
+\partial_t U + m_x\left[\partial_x(Uu) + \partial_y(Vu)\right] + \partial_\eta (\Omega u) ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~ </font>
<font color="red">otag &amp;
 \hphantom{(m_y/m_x)}
-\partial_\eta (\Omega u)
-+ ({\mu}_d \alpha \partial_x p' 
-+ {\mu}_d \alpha' \partial_x \bar{p}) ~~~~~~~~ </font>
<font color="red">otag &amp;
 \\
-+ (\alpha/\alpha_d) ( {\mu}_d \partial_x \phi' 
-+  \partial_\eta p' \partial_x \phi 
-- {\mu}_d' \partial_x \phi )
-                                                       &amp;= F_U  
++(m_x/m_y) (\alpha/\alpha_d) \left[ \mu_d (\partial_x \phi' + \alpha_d \partial_x p' + \alpha'_d \partial_x \overline{p}) +
+\partial_x \phi (\partial_\eta p' - \mu'_d)\right]  = F_U
+%%+ ({\mu}_d \alpha \partial_x p' 
+%%+ {\mu}_d \alpha' \partial_x \bar{p}) ~~~~~~~~ </font>
<font color="red">otag &amp;
+%%\\
+%%+ (\alpha/\alpha_d) ( {\mu}_d \partial_x \phi' 
+%%+  \partial_\eta p' \partial_x \phi 
+%%- {\mu}_d' \partial_x \phi )
+%%                                                       &amp;= F_U  
 \label{u-mom-pert}
 \\
 %
-\partial_t V + m_y[\partial_x (Uv) + \partial_y (Vv)] + (m_y/m_x) \partial_\eta (\Omega v)
-+ ({\mu}_d \alpha \partial_y p' 
-+ {\mu}_d \alpha' \partial_y \bar{p}) ~~~~~~~~ </font>
<font color="blue">otag &amp;
+\partial_t V + m_y[\partial_x (Uv) + \partial_y (Vv)] + (m_y/m_x) \partial_\eta (\Omega v) ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~ </font>
<font color="red">otag &amp;
 \\
-+ (\alpha/\alpha_d) ( {\mu}_d \partial_y \phi' 
-+ \partial_\eta p' \partial_y \phi 
-- {\mu}_d' \partial_y \phi )
-                                                       &amp;= F_V   \\ 
++(m_x/m_y) (\alpha/\alpha_d) \left[ \mu_d (\partial_x \phi' + \alpha_d \partial_x p' + \alpha'_d \partial_x \overline{p}) +
+\partial_x \phi (\partial_\eta p' - \mu'_d)\right]  = F_U
+\\
+%%+ ({\mu}_d \alpha \partial_y p' 
+%%+ {\mu}_d \alpha' \partial_y \bar{p}) ~~~~~~~~ </font>
<font color="blue">otag &amp;
+%%\\
+%%+ (\alpha/\alpha_d) ( {\mu}_d \partial_y \phi' 
+%%+ \partial_\eta p' \partial_y \phi 
+%%- {\mu}_d' \partial_y \phi )
+%%                                                      &amp;= F_V   \\ 
 %
 \partial_t W  + (m_x m_y/m_y) [\partial_x (Uw) + \partial_y (Vw)] + \partial_\eta
 (\Omega w)  ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~ </font>
<font color="black">otag &amp; 

</font>
</pre>